Persamaan Diferensial 1 (Orde 1 Variabel Terpisah)

Hmm, apa ya yang dimaksud dengan Persamaan Diferensial? Seingat saya waktu belajar jaman SMA dulu, diferensial itu adalah fungsi turunan. Kalian ingat? Kalau nggak apa-apa, saya juga rada-rada lupa sebenarnya. Hehehe.

Anggap saja kita sudah ingat kembali apa itu fungsi turunan, kalau digabung dengan kata 'persamaan', berarti kayak apa ya?

Ini nih, definisinya:

Persamaan Diferensial adalah suatu persamaan yang melibatkan satu atau lebih turunan fungsi yang belum diketahui, dan persamaan itu mungkin juga melibatkan fungsi itu sendiri atau konstanta. 

Nah, setelah tau definisinya, gimana? Udah ada gambaran? Kalau saya sih belum. Hahaha.... *Entah mengapa kata Persamaan Diferensial itu terdengar seperti gumpalan benang kusut di kepala. :x

Ah, sudahlah. Biarkan semua kekusutan di kepala saya.
Pertama kita akan membahas satu bagian dari materi Persamaan Diferensial, yaitu:


Persamaan Diferensial Orde 1 Variabel Terpisah

Langkah-langkah sederhana:

1. Pisahkan unsur \(\begin{equation}x\end{equation}\) dan \(\begin{equation}y\end{equation}\).
2. Integralkan kedua ruas menjadi:
   \(\begin{equation}\int g(y)dy +C_{1}=\int f(x)dx + C_{2}\end{equation}\)
3. Persamaan integral merupakan bentuk umum persamaan diferensial.

Langkah-langkah untuk bentuk umum:
\(\begin{equation}f_{1}(x).g_{1}(y)dx +f_{2}(x).g_{2}(y)dy=0\end{equation}\)

1. Buat faktor terintegrasi:\(\begin{equation}\frac { 1 }{ { g }_{ 1 }(y).{ f }_{ 2 }(x) } \end{equation}\)
2. Model persamaan variabel terpisah:
   \(\begin{equation}\frac { { f }_{ 1 }(x) }{ { f }_{ 2 }(x) } dx+\frac { { g }_{ 1 }(y) }{ g_{ 2 }(y) } dy=0\end{equation}\) 
3. Integralkan masing-masing suku terhadap  \(\begin{equation}x\end{equation}\) dan \(\begin{equation}y\end{equation}\): 
   \(\begin{equation}\int { \frac { { f }_{ 1 }(x) }{ { f }_{ 2 }(x) } dx } +\int { \frac { { g }_{ 1 }(y) }{ g_{ 2 }(y) } dy } =0\end{equation}\).

Contoh Soal:

1. \(\begin{equation}\frac { dy }{ dx } =\frac { x+2{ x }^{ 2 } }{ y } \end{equation}\)

• Langkah 1:
  Inget, kita pisahin \(\begin{equation}x\end{equation}\) dan \(\begin{equation}y\end{equation}\), supaya bisa diintegralin. Kalo masih bercampur nggak bisa bro...
  Jadinya begini:
  \(\begin{equation}ydy=x+2{ x }^{ 2 }dx\end{equation}\)
• Langkah 2:
  Karena sudah terpisah, x dengan dx dan y dengan dy, maka kita bisa lanjutkan dengan mengintegralkan kedua ruas. Asik ya... (*hoek!)Hahaha.
  Bisa kan melakukan integral. Ini proses biasa kok. Kalau bingung berarti harus sedikit mengulang pelajaran integral.
  \(\begin{equation}\int { ydy } =\int { x+2{ x }^{ 2 }dx } \end{equation}\)
  \(\begin{equation}\frac { 1 }{ 2 } { y }^{ 2 }+{ C }_{ 1 }=\frac { 1 }{ 2 } { x }^{ 2 }+\frac { 2 }{ 3 } { x }^{ 3 }+{ C }_{ 2 }\end{equation}\)
  \(\begin{equation}\frac { 1 }{ 2 } { y }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 2 } { x }^{ 2 }+\frac { 2 }{ 3 } { x }^{ 3 }+{ C }_{ 2 }-{ C }_{ 1 }\end{equation}\)
  \(\begin{equation}{ y }^{ 2 }={ x }^{ 2 }+\frac { 4}{ 3 } { x }^{ 3 }+{ C }_{ 2 }-{ C }_{ 1 }\end{equation}\)
  Nah, karena nilai \(\begin{equation}C\end{equation}\) belum diketahui jadi kita boleh ngegabungin \(\begin{equation}C_{2}-C_{1}\end{equation}\) menjadi satu \(\begin{equation}C\end{equation}\) saja.
  \(\begin{equation}{ y }^{ 2 }=\sqrt { { x }^{ 2 }+\frac { 4 }{ 3 } { x }^{ 3 }+{ C } } \quad \Longrightarrow \end{equation}\) Bentuk umum PD.

2. \(\begin{equation}\frac { dy }{ dx } =2x\end{equation}\)

• \(\begin{equation}dy=2xdx\end{equation}\)
  \(\begin{equation}\int { dy=\int { 2xdx }  } \end{equation}\)
  \(\begin{equation}y+{ C }_{ 1 }=\frac { 2 }{ 2 } { x }^{ 2 }+{ C }_{ 2 }\end{equation}\)
  \(\begin{equation}y={ x }^{ 2 }+{ C }_{ 2 }-{ C }_{ 1 }\end{equation}\)
  \(\begin{equation}y={ x }^{ 2 }+{ C }\end{equation}\)

3. \(\begin{equation}xydx+(1+{ x }^{ 2 })dy=0\end{equation}\)

• Langkah 1:
  \(\begin{equation}{ f }_{ 1 }(x)=x\quad \quad { f }_{ 2 }(x)=(1+{ x }^{ 2 })\\ { g }_{ 1 }(y)=y\quad \quad { g }_{ 2 }(y)=1\end{equation}\)
  Faktor terintegrasi:
  \(\begin{equation}\frac { 1 }{ { g }_{ 1 }(y){ f }_{ 2 }(x) } =\frac { 1 }{ y(1+{ x }^{ 2 }) }\end{equation}\)
• Langkah 2:
  \(\begin{equation}\frac { { f }_{ 1 }(x) }{ { f }_{ 2 }(x) } dx+\frac { { g }_{ 1 }(y) }{ { g }_{ 2 }(y) } dy=0\end{equation}\)
  \(\begin{equation}\frac { 1 }{ y(1+{ x }^{ 2 }) } \left( xydx+(1+{ x }^{ 2 })dy \right) =0\end{equation}\)
  \(\begin{equation}\frac { xydx }{ y(1+{ x }^{ 2 }) } +\frac { (1+{ x }^{ 2 })dy }{ y(1+{ x }^{ 2 }) } =0\end{equation}\)
  \(\begin{equation}\frac { xdx }{ (1+{ x }^{ 2 }) } +\frac { dy }{ y } =0\end{equation}\)
• Langkah 3:
  \(\begin{equation}\int { \frac { xdx }{ (1+{ x }^{ 2 }) }  } +\int { \frac { dy }{ y }  } =0\end{equation}\)
  \(\begin{equation}\int { \frac { x }{ (1+{ x }^{ 2 }) } d } (1+{ x }^{ 2 }).\frac { 1 }{ 2x } +\int { \frac { dy }{ y }  } =0\end{equation}\)
  \(\begin{equation}\frac { 1 }{ 2 } \ln { (1+{ x }^{ 2 } } )+\ln { (y) } +C=0\end{equation}\)
  -------------------------------------------------
  Note:
  \(\begin{equation}\frac { dx }{ x } =\ln { (x) } \end{equation}\)
  -------------------------------------------------