How to Solve System of Exponential Equation Problem - Menjawab Soal Sistem Persamaan Eksponensial

Intro:
Secara khusus sih persamaan eksponensial mensyaratkan satu atau lebih aturan logaritma untuk bisa diselesaikan. Tapi dalam banyak kasus, teknik menyelesaikan sistem persamaan dan aturan-aturan eksponen harus digabungin agar bisa menyelesaikan sistem persamaan eksponensial. Memperlakukan sistem persamaan eksponen ini layaknya sistem persamaan linear juga kadang-kadang bisa membantu banget.

Kamu sudah bisa menyelesaikan sistem persamaan linear kan?
Ada satu metoda dalam menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel, yaitu menyubtitusikan suatu persamaan ke dalam persamaan yang lain. Tujuannya agar mengurangi jenis variabel yang ada di dalam persamaan sehingga lebih mudah mengerjakannya. Atau dengan metoda eliminasi, tujuannya pun sama, yaitu mengurangi jenis variabel dalam suatu persamaan linear.

Oke, sekarang kita coba saja yuk beberapa model soal dari sistem persamaan eksponensial.

Soal nomor 1:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan eksponensial berikut untuk \(x\) dan \(y\)!

\(\left \{ \begin{matrix} 2^{y-x}=8 & \\ 10^{x+2y}=100 & \end{matrix} \right.\)

How do we solve this problem?
I think most of you remember the law in an exponential equation. Kita lihat persamaan yang pertama:
\(2^{y-x}=8\)

Ini cukup mudah karena kedua bilangan di kedua ruas bisa kita buat agar basisnya sama yaitu \(2\). Kemudian kita sederhanakan, sehingga menjadi:
\(2^{y-x}=8\)
\(2^{y-x}=2^{3}\)

\(y-x=3\)...................(3)  nah, bentuk persamaan ini kita simpan dulu.

Sekarang kita lihat persamaan kedua, kita lakukan hal yang sama seperti pada persamaan pertama:
\(10^{x+2y}=100\)
\(10^{x+2y}=10^{2}\)

\(x+2y=2\).............(4)
Sekarang kedua persamaan yang baru kita dapat tadi (persamaan (3) dan (4)) sudah dalam bentuk persamaan linear. Berarti mudah dong mencari nilai \(x\) dan \(y\)-nya. Kita hanya tinggal mengeleminasi-subtitusinya saja. sehingga kita dapat:

Kemudian, setelah kita dapat nilai \(y=\frac{5}{3}\), mencari nilai \(x\) bisa dengan menyubtitusi nilai \(y\) ke salah satu persamaan, entah itu persamaan (3) atau persamaan (4). Kali ini saya akan menyubtitusikannya ke persamaan (3) sehingga menjadi:

\(-x+y=3\)
\(-x+\frac{5}{3}=3\)
\(-x=3 - \frac{5}{3}\)
\(-x= \frac{9-5}{3}\)
\(x= -\frac{4}{3}\)

Finally, we got the solution set (himpunan penyelesaian) : {\(\frac{5}{3},-\frac{4}{3}\)}.
-------------------------------------------------------------------------------
Soal nomor 2:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan eksponensial berikut untuk \(x\) dan \(y\)!
\(\left \{ \begin{matrix} 3^x \times 3^y=3 & \\ 3^x+3^y=4 & \end{matrix} \right.\)

Soal nomor 3:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan eksponensial berikut untuk \(x\) dan \(y\)!
\(\left \{ \begin{matrix} 5^x \times 3^y=45 & \\ 3^x \times 5^y=75 & \end{matrix} \right.\)

Soal nomor 4:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan eksponensial berikut untuk \(x\) dan \(y\)!
\(\left \{ \begin{matrix} 2^x \times 3^y=324 & \\ y-x=2 & \end{matrix} \right.\)

Bagaimana menyelesaikan soal nomor 2, 3 dan 4?
These problems quiet different with the number one, still using the same method, however we need to use other trick to make them look like simple linear equations.

Nah, untuk penyelesaian soal nomor 2, 3 dan 4 nanti saya posting lagi. Untuk sementara kamu bisa coba-coba dulu ya... (^.^)/

Kalau ada yang sudah dapat jawabannya boleh sharing di komentar.




P.S. 
Kamu bisa belajar dasar-dasar eksponen di postingan ini : Simple Exponential.
Jangan lupa belajar materi yang lainnya ya, seperti Notasi Sigma atau Induksi Matematika.

Kalau kamu menemukan kesalahan-kesalahan dalam pengetikan atau pengerjaan soal, silakan dikomentari biar bisa saya revisi.

P.S. [again]
We can be friends on facebook or twitter, so visit my profile : Nouvel Raka or @noboru26.

Math Solutions - Radical Form (Penyelesaian Soal Bentuk Akar)

I got some problems about math. I know these are quiet simple for some people, but I love to share this solution.

For you who are in grade 9th, you may check my answers. If you find I did any mistake, just inform me via the comments.

Ada beberapa akar pangkat dua yang perlu disederhanakan menjadi bentuk akar.

Bagaimana cara menyelesaikannya?
Ini adalah persoalan akar pangkat dua. Maka hal pertama yang harus kita pikirkan adalah, bagaimana caranya bilangan yang di dalam akar ini menjadi bilangan-bilangan yang bisa ditarik akar kuadratnya.

Now we need to find the factor which is a square number.
What is square number?
Square number atau bilangan kuadrat merupakan hasil dari perpangkatan suatu bilangan.
For examples:


 Well, numbers which are on the right side called square numbers, karena bisa kita tarik akarnya [nilai akarnya adalah bilangan yang di sebelah kiri].

Back to the problems, we have four problems here about simplifying the square root form.

Let's check the first problem. Kita punya \(\begin{equation}\sqrt{48} \end{equation}\). Berarti kita perlu mencari faktor perkalian 48. Do you remember what factor is?
Clue-nya adalah: berapa dikali berapa yang hasilnya 48.
Maka kita dapat faktor dari 48 adalah:










Kita pakai 16, why? Padahal 'kan 4 juga merupakan bilangan kuadrat. Ya, karena 16 merupakan bilangan kuadrat terbesar yang menjadi faktor 48. Sehingga akan menghasilkan bentuk yang paling sederhana.
Jadinya begini.
\(\begin{equation}\sqrt{48} = \sqrt{16 . 3} \end{equation}\)
\(\begin{equation}\Leftrightarrow  \sqrt{48} = \sqrt{16}. \sqrt{3} \Rightarrow  4 \sqrt{3}   \end{equation}\)


Now let's check the second problem. We have \(\begin{equation}\sqrt{54} \end{equation}\). 
Caranya sama seperti soal sebelumnya. Kita cari faktor dari 54 yang merupakan bilangan kuadrat.
54 = 1 . 54
54 = 2 . 27
54 = 3 . 18
54 = 6 . 9
Bilangan 9 adalah satu-satunya faktor dari 54 yang merupakan bilangan kuadrat. Maka perkalian 6 dengan 9 inilah yang kita gunakan.
Jadinya seperti ini:
\(\begin{equation}\sqrt{54} = \sqrt{9  .  6} \end{equation}\)
\(\begin{equation} \Leftrightarrow \sqrt{54} = \sqrt{9}.\sqrt{6} \Rightarrow 3 \sqrt{6} \end{equation}\)


Okay, then. We have \(\begin{equation}\sqrt{72} \end{equation}\).
Tentu sudah jago dong dengan yang ini?
\(\begin{equation}\sqrt{72} \end{equation}\)
\(\begin{equation}\sqrt{72}= \sqrt{36 . 2} \end{equation}\)
\(\begin{equation}\sqrt{72}= \sqrt{36}. \sqrt{2} \Rightarrow 6 \sqrt{2} \end{equation}\)


And for the last problem, we have \(\begin{equation}\sqrt{80} \end{equation}\).
Bagaimana dengan yang ini?
\(\begin{equation}\sqrt{80}= \sqrt{16.5} \end{equation}\)
\(\begin{equation}\sqrt{80}=\sqrt{16}. \sqrt{5} \Rightarrow 4 \sqrt{5} \end{equation}\)

Mudah bukan?




Catatan:
Ada kasus tambahan nih. Kalau misalnya soal yang kita punya adalah \(\begin{equation}5\sqrt{12} \end{equation}\), apakah sama proses penyederhanaannya?

Ya, sama.
Hanya saja yang perlu kita perhatikan di sini. \(\begin{equation}5\sqrt{12} \end{equation}\) artinya 5 dikali dengan \(\begin{equation}\sqrt{12} \end{equation}\). Maka proses penyederhanaannya menjadi seperti berikut:
\(\begin{equation}5\sqrt{12}=5 \sqrt{4.3} \end{equation}\)
\(\begin{equation}5\sqrt{12}=5 \sqrt{4} .\sqrt{3} \end{equation}\)
\(\begin{equation}5\sqrt{12}=5 .2 .\sqrt{3} \end{equation}\)
\(\begin{equation}5\sqrt{12}=10\sqrt{3} \end{equation}\)

Oke. Selamat mencoba untuk soal-soal yang kamu punya.


P.S.
Kalau kamu menemukan kesalahan-kesalahan dalam pengetikan atau pengerjaan soal, silakan dikomentari biar bisa saya revisi.

P.S. [again]
Buat kamu yang kelas 9 SMP bolehlah lihat materi basic exponential (bilangan berpangkat). Atau materi tentang bilangan rasional dan irasional. Seru loh kalau kita tahu pembuktian mengapa \(\begin{equation}\sqrt{3} \end{equation}\) merupakan bilangan irasional.

P.S. [again and again]
We can be friends on facebook or twitter, so visit my profile : Nouvel Raka or @noboru26.

Solution for Differential Equation (Euler-Cauchy)-Persamaan Diferensial Euler-Cauchy

Berikut akan saya share Persamaan Diferensial Euler-Cauchy Orde 2 homogen. Bagaimana kita mencari solusi umum dari PD jenis ini? Langsung aja dicek PDFnya ya...

Nah, kalau mau download filenya, bisa langsung ke menu yang ada di pojok kotak di samping tanda Zoom-In (Kaca pembesar dengan lambang +). Kamu akan membuka file .PDF ke jendela baru dan di sana akan kamu temukan opsi mendownload file (Save File).

P.S
Kalau kamu menemukan kesalahan-kesalahan dalam pengetikan atau pengerjaan soal, silakan dikomentari biar bisa saya revisi.

P.S. [again]
Oh ya buat kamu yang mau belajar materi Persamaan Diferensial yang lain, bisa cek disini:
1. Persamaan Diferensial Biasa Orde 2
2. Persamaan Diferensial Orde 2 Nonhomogen
3. Persamaan Diferensial Orde 1


P.S. [again and again]
We can be friends on facebook or twitter, so visit my profile : Nouvel Raka or @noboru26.

Persamaan Diferensial Biasa Order 2

Materi yang akan saya sajikan ini adalah materi lanjutan dari Persamaan Diferensial 1. Namanya juga diferensial, berarti ya kita membicarakan soal turunan. Dan fungsi turunannya ada dalam bentuk persamaan yang harus kita cari akar-akarnya.

So for you who want to know what we will learn, let's check this out, guys!

Nah, kalau mau download filenya, bisa langsung ke menu yang ada di pojok kotak di samping tanda Zoom-In (Kaca pembesar dengan lambang +). Kamu akan membuka file .PDF ke jendela baru dan di sana akan kamu temukan opsi mendownload file (Save File).

P.S
Kalau kamu menemukan kesalahan-kesalahan dalam pengetikan atau pengerjaan soal, silakan dikomentari biar bisa saya revisi.

P.S. [again]
We can be friends on facebook or twitter, so visit my profile : Nouvel Raka or @noboru26.

Rational and Irrational Numbers - Bilangan Rasional dan Irasional

Okay, first of all. Rational doesn't come from something like we think. Usually we use this word to express something showing clear thought or reason. But in math, it's totally different.

Banyak yang menganggap kalau bilangan rasional adalah 'bilangan yang masuk akal', maka dengan sendirinya bilangan irasional dianggap sebagai 'bilangan yang nggak masuk akal'. Ehem, ini karena kita menganggap kata rasional bermakna "menurut pikiran dan pertimbangan yang logis". Padahal di dalam matematika bukan itu maknanya. Sama sekali bukan.

Rational comes from word 'ratio' which means the relationship between two groups or amounts, which expresses how much bigger one is than the other (Cambridge Advanced Learner's Dictionary). So in math, it's about numbers. Not about thought or ideas.

Asal kata rasional sendiri pada bilangan rasional adalah rasio yang artinya perbandingan dua jumlah.

Nah, supaya lebih jelas tentang dua hal ini, si rasional dan irasional dalam matematika, yuk dicek materinya di bawah ini. Saya juga men-share cara membuktikan bahwa suatu bilangan rasional atau irasional.

Apakah akar 2, akar 3, atau akar 7 bilangan irasional? bagaimana membuktikannya? Check this out, guys!

Nah, kalau mau download filenya, bisa langsung ke menu yang ada di pojok kotak di samping tanda Zoom-In (Kaca pembesar dengan lambang +). Kamu akan membuka file .PDF ke jendela baru dan di sana akan kamu temukan opsi mendownload file (Save File).

P.S
Kalau kamu menemukan kesalahan-kesalahan dalam pengetikan atau pengerjaan soal, silakan dikomentari biar bisa saya revisi.

Simple Exponent - Bilangan Berpangkat

Buat kamu yang kelas 9 SMP, ada materi baru di semester 2, yaitu bilangan berpangkat. Nah, kayak apa bilangan berpangkat itu?

Yuk dicek di sini!
Ayo belajar bareng!

Nah, kalau mau download filenya, bisa langsung ke menu yang ada di pojok kotak di samping tanda Zoom-In (Kaca pembesar dengan lambang +). Kamu akan membuka file .PDF ke jendela baru dan di sana akan kamu temukan opsi mendownload file (Save File).

P.S
Kalau kamu menemukan kesalahan-kesalahan dalam pengetikan atau pengerjaan soal, silakan dikomentari biar bisa saya revisi.

Mathematics Inductions - Induksi Matematika

Di dalam matematika, ada suatu cara untuk membuktikan berlakunya suatu rumus. Namanya induksi matematika. Untuk menguasai induksi matematika ini, materi dasar yang wajib banget dikuasai adalah 'aljabar'.

Iya, saya nggak bercanda. Buat kamu yang benci banget sama aljabar, buruan deh hilangin kebencian itu. Kalau memang perlu, pelajari lagi dari awal biar benar-benar memahami konsep dasar dalam aljabar. Terutama mengenai operasi hitung yang terjadi dalam aljabar.

Nah, bukan cuma aljabar sederhana saja yang harus kita kuasai supaya benar-benar nyambung dengan induksi matematika, kita juga perlu memahami beberapa hal dalam teori bilangan.

Buat yang udah nggak sabar silakan cek materi induksi matematika berikut.

Nah, kalau mau download filenya, bisa langsung ke menu yang ada di pojok kotak di samping tanda Zoom-In (Kaca pembesar dengan lambang +). Kamu akan membuka file .PDF ke jendela baru dan di sana akan kamu temukan opsi mendownload file (Save File).

P.S
Kalau kamu menemukan kesalahan-kesalahan dalam pengetikan atau pengerjaan soal, silakan dikomentari biar bisa saya revisi.

Sigma Notation - Notasi Sigma

Sekarang saya mau menjelaskan tentang notasi sigma.
Dan berhubung saya sudah ketagihan membuat materi di Microsoft Office Word kemudian diubah ke bentuk .PDF dan di-embed ke dalam blog, maka kali ini pun saya menggunakan teknik yang sama.

Hehehe...
Mohon maaf ya karena mengetik dalam format HTML tidak senyaman mengetik di dokumen biasa dalam Microsoft Office Word.

Oke langsung saja disimak mulai dari pengertian notasi sigma sampai penggunaannya dalam matematika.

P.S.
Ini materi kelas 11 SMA  yang menggunakan kurikulum 2013 (K-13) atau kelas 12 SMA yang menggunakan kurikulum KTSP (2006).

Nah, kalau mau download filenya, bisa langsung ke menu yang ada di pojok bawah di samping tanda fullscreen. Kamu akan membuka drop down menu (gak sesuai namanya-menunya keluar ke atas). Pada menu tersebut kamu tinggal pilih download a copy. Mudah kan?

Ini tampilan menunya:

P.S (Lagi)
Setelah belajar notasi sigma, kamu bisa lanjutkan dengan belajar induksi matematika. Materinya berbeda tapi ada hubungannya. Kamu bisa cek di sini:
INDUKSI MATEMATIKA

Kalau kamu menemukan kesalahan-kesalahan dalam pengetikan atau pengerjaan soal, silakan dikomentari biar bisa saya revisi.

Persamaan Diferensial 2 Ordo 2 Non Homogen

Yeay!!!
Ini edisi malas!

Saya mau bahas sedikit tentang materi Persamaan Diferensial 2, cuma karena saya malas ngetik Latex yang nggak bisa cepat (maklum belum pro), maka saya mengetiknya di Microsoft Office Word, kemudian saya ubah menjadi format .PDF dan baru memasukkannya ke blog.

Agak ribet ya kedengarannya...

Tapi buat saya jauh lebih cepat mengetik banyak persamaan matematika di Microsoft Office Word daripada menggunakan Latex di Blog.

Yuk ah, kita mulai!

 

Nah, kalau mau download filenya, bisa langsung ke menu yang ada di pojok kotak di samping tanda Zoom-In (Kaca pembesar dengan lambang +). Kamu akan membuka file .PDF ke jendela baru dan di sana akan kamu temukan opsi mendownload file (Save File).

P.S
Kalau kamu menemukan kesalahan-kesalahan dalam pengetikan atau pengerjaan soal, silakan dikomentari biar bisa saya revisi.

Membuat Grafik Trigonometri di Microsoft Word (Create Mathematics Graph in Office Word)

Curhat Pembuka

Halah!

Ini sebenarnya keluhan orang yang males upgrade ilmu, merasa punya cukup skill buat melakukan sesuatu sehingga enggan mencari cara baru dalam menyelesaikan masalah.

Dari dulu, sebagai tukang ketik matematika, saya selalu kesulitan saat menggambar grafik matematika di Microsoft Office Word. Kalau cuma grafik yang modelnya kaku-kaku dan lurus-lurus sih masih bisa dihandle dengan kemampuan drawing tools yang cukup memadai di Office Word. Tapi tahu sendiri kan kalau matematika memiliki banyak bentuk grafik dan ada yang bentuknya kurva (curve: melengkung).

Meskipun ada satu tool oke di Word yang bisa bikin garis melengkung, tapi belum bisa saya bilang memuaskan saat hendak menggambar grafik trigonometri (misal: grafik sinus) atau grafik fungsi eksponen dan grafik fungsi polinom. Hasilnya terkesan seadanya dan...ehem, kurang pro gitu.

Akhirnya saya menyerah dan mengakui kebodohan (dan kemalasan) saya. Pasti ada cara untuk menyisipkan gambar grafik trigonometri ke dalam Word yang mudah membuatnya dan sesuai dengan hasil yang diinginkan.

Cara yang pertama kali saya coba adalah menggambar grafiknya di Adobe Illustrator kemudian hasilnya saya save dalam format JPEG dan selanjutnya saya insert di Word.

(*´>д<) ... I swear, ini caranya nggak asik banget. Memang hasilnya lebih bagus daripada sekadar gambar dengan drawing tool di Word, tapi butuh waktu banget dan skill make tools di Illustrator yang lumayan bejibun.

Nah, setelah dalam sekian waktu yang cukup lama saya gunakan cara tersebut (gambar di Illustrator kemudian diinsert ke Word setelah diexport menjadi JPEG), saya menemukan cara canggih yang sebenarnya telah disediakan oleh Microsoft.

Persamaan Diferensial 1 (Orde 1 Variabel Terpisah)

Hmm, apa ya yang dimaksud dengan Persamaan Diferensial? Seingat saya waktu belajar jaman SMA dulu, diferensial itu adalah fungsi turunan. Kalian ingat? Kalau nggak apa-apa, saya juga rada-rada lupa sebenarnya. Hehehe.

Anggap saja kita sudah ingat kembali apa itu fungsi turunan, kalau digabung dengan kata 'persamaan', berarti kayak apa ya?

Ini nih, definisinya:

Persamaan Diferensial adalah suatu persamaan yang melibatkan satu atau lebih turunan fungsi yang belum diketahui, dan persamaan itu mungkin juga melibatkan fungsi itu sendiri atau konstanta. 

Nah, setelah tau definisinya, gimana? Udah ada gambaran? Kalau saya sih belum. Hahaha.... *Entah mengapa kata Persamaan Diferensial itu terdengar seperti gumpalan benang kusut di kepala. :x

Ah, sudahlah. Biarkan semua kekusutan di kepala saya.
Pertama kita akan membahas satu bagian dari materi Persamaan Diferensial, yaitu: